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L'IMPEDENZA DI USCITA
di Fabio Federici


L'impedenza di uscita è uno di quei concetti che si ha l'impressione di conoscere, ma non sempre si ha la padronanza di descrivere in modo compiuto.
Nell'esperienza comune ne abbiamo un esempio nelle nostre abitazioni, quando di notte abbiamo le luci accese, e d'improvviso, all'innescarsi del motore del frigorifero, della lavatrice o di altri elettrodomestici dal forte assorbimento, si ha un improvviso abbassamento dell'intensità luminosa dell'illuminazione.
Perché? Cos'è che provoca questo abbassamento?
La resistenza di uscita della rete elettrica!
In questo semplice caso, più è alta la resistenza propria della rete e più è intenso il fenomeno dell'abbassarsi dell'intensità luminosa.
Un altro esempio ci è fornito dal funzionamento di una comune pila: cos'è che ne limita l'erogazione di corrente? Cos'è che ci impedisce, in generale, di prelevare ad esempio 10A da una comune pila da 9V per autoradio?
L'impedenza interna della pila stessa!
Se non ci fosse questa impedenza (nella maggior parte dei casi si può parlare di semplice resistenza) una qualsiasi pila potrebbe erogare una quantità di corrente al di sopra di qualsiasi immaginazione!
Cominciamo quindi con il fissare le idee su qualche "concetto di base": i circuiti equivalenti.

1.1    I CIRCUITI EQUIVALENTI

La natura più o meno complessa di un qualsiasi circuito può trarre in inganno circa la capacità di investigarne alcune proprietà intrinseche. Esistono tuttavia dei teoremi che permettono alcune fondamentali semplificazioni.
Questi teoremi permettono di affermare che un qualsiasi circuito, sotto opportune condizioni, può essere visto dall'esterno come se fosse una sorta di "scatola nera", collegata verso l'esterno almeno con due terminali, attraverso i quali vedremo che tipo di misure possiamo operare per investigarne alcune caratteristiche.
Un circuito equivalente è un circuito perfettamente assimilabile, in ogni suo comportamento, al circuito di cui stiamo investigando le caratteristiche.
In generale un circuito equivalente non contiene componenti o collegamenti reali ma solo componenti e collegamenti ideali, inseriti in uno schema semplificato, utile all'esame dei circuiti reali stessi.
1.1.1    IL CIRCUITO EQUIVALENTE DI THEVENIN
Il Teorema di Thevenin afferma:
Ciascun circuito costituito da generatori ed impedenze che abbia due terminali di uscita può essere sostituito da un circuito, ad esso equivalente, costituito da un solo generatore di tensione ideale e da un'impedenza ad esso in serie.

In Fig. 1 è mostrato il circuito equivalente "secondo Thevenin":

  • V0    è il generatore di tensione ideale, e
  • ZOUT    è l'impedenza di uscita, collegata in serie al generatore.
Questo circuito presenterà tra i morsetti di uscita 1 e 2 una tensione di uscita a vuoto (cioè, senza carico collegato ai morsetti) pari proprio a V0 ; la presenza dell'impedenza interna ZOUT e di una impedenza esterna di carico, collegata tra i morsetti 1 e 2, produrrà un abbassamento della tensione di uscita proprio per l'effetto della corrente assorbita dall'impedenza interna ZOUT e della conseguente caduta di tensione ai suoi capi.
1.1.2    IL CIRCUITO EQUIVALENTE DI NORTON
Il Teorema di Norton afferma:
Ciascun circuito costituito da generatori ed impedenze che abbia due terminali di uscita può essere sostituito da un circuito, ad esso equivalente, costituito da un solo generatore di corrente ideale e da un'impedenza ad esso in parallelo.

In Fig. 2 è mostrato il circuito equivalente "secondo Norton":

  • ICC    è il generatore di corrente ideale, e
  • ZOUT    è l'impedenza di uscita, collegata in parallelo al generatore.
Questo circuito presenterà tra i morsetti di uscita 1 e 2 una corrente di corto circuito (cioè, con i morsetti tra loro collegati) pari proprio a ICC ; la presenza dell'impedenza interna ZOUT e di una impedenza esterna di carico, collegata tra i morsetti 1 e 2, produrrà un abbassamento della corrente di uscita proprio per l'effetto della corrente assorbita dall'impedenza interna ZOUT .

1.2    DEFINIZIONE DELL'IMPEDENZA DI USCITA

I due teoremi appena enunciati ci assicurano l'esistenza di un'impedenza di uscita ZOUT , per quanto possa essere complesso il circuito di cui stiamo investigando le caratteristiche.
Inoltre, se da un punto di vista teorico i due circuiti di Thevenin e di Norton siano ovviamente equivalenti, e perfettamente scambiabili a seconda delle necessità e delle semplificazioni richieste, in genere, nell'esame dei circuiti, si preferisce l'uso di quello di Thevenin, il quale permette di visualizzare direttamente in serie l'impedenza di uscita; ciò non toglie che più avanti vedremo che esistono dei casi in cui è più semplice definire una serie di relazioni utilizzando quello di Norton.
Considerata l'intercambiabilità dei due circuiti, si può dire che, in linea del tutto generale, e svincolati da altre considerazioni operative, l'impedenza di uscita di un circuito è uguale al valore assoluto del rapporto tra la tensione di uscita a vuoto e la corrente di corto circuito:
(1.1)
Questa relazione, anche se definisce in maniera rigorosa il valore di ZOUT è poco utile in quanto un circuito, anche se espresso nella sua forma equivalente, presenta due incognite: la prima è proprio l'impedenza di uscita, mentre la seconda sarà VOUT nel caso del circuito di Thevenin, oppure ICC nel caso del circuito di Norton.
Quindi non è sufficiente una sola misura per determinare il valore di entrambe le incognite; oltretutto è vero pure che, in presenza di circuiti reali, non è sempre possibile cortocircuitare l'uscita senza correre il rischio di danneggiare qualche componente del circuito stesso.
Facendo ancora delle considerazioni generali, e quindi teoriche, possiamo dire che qualsiasi misura possiamo immaginare di operare sui morsetti di uscita di un circuito prevede almeno una resistenza di carico, che chiameremo RL , collegata direttamente tra i morsetti di uscita 1 e 2, come nell'esempio del circuito equivalente di Thevenin di Fig. 3 .

La tensione di uscita in questo caso è pari a:

 
(1.2)
L'esame della (1.2) e della Fig. 3 ci permette di fare alcune considerazioni:

  • la tensione di uscita VOUT è sempre una funzione della resistenza di carico RL ;
  • all'aumentare del valore di RL il valore corrispondente di VOUT si avvicina sempre più a V0 ;
  • al diminuire del valore di RL il valore corrispondente di VOUT tende a zero in quanto la tensione V0 si scarica tutta sull'impedenza interna ZOUT e la corrente IOUT circolante all'esterno del circuito si avvicina sempre più alla corrente di corto circuito ICC .
Considerando inoltre che, per il fatto che qualsiasi sia il valore di RL vale la relazione:
possiamo ridefinire la (1.1) come:
(1.3)
e cioè il valore assoluto del rapporto di due limiti:
  • a numeratore, il limite della tensione di uscita VOUT quando la resistenza di carico RL tende all'infinito; e
  • a denominatore, il limite del rapporto della tensione di uscita VOUT e della resistenza di carico RL , quando questa tende a zero.
Come possiamo servirci allora della relazione (1.3) ?.
Disegniamo il circuito che vogliamo studiare, sia esso reale o ideale, cerchiamo di ridurlo ad un circuito composto solamente da elementi circuitali ideali, calcoliamo il valore di VOUT = VOUT ( RL ) , cioè della tensione di uscita del circuito, quando questo sia caricato da una resistenza RL , come funzione della stessa resistenza di carico RL , applichiamo la (1.3), e il gioco è fatto!
1.2.1    ESEMPIO DI CALCOLO
Proviamo attraverso un esempio rappresentato dal semplice circuito di Fig. 4 a calcolare la sua impedenza di uscita per mezzo della (1.3).
La tensione di uscita del circuito vale: 

 

 

 

 

 

L'applicazione della (1.3) ci permette di determinare direttamente il valore dell'impedenza di uscita:

Come era lecito attendersi, l'impedenza di uscita del circuito rappresentato in Fig. 4 è uguale al parallelo di R1 ed R2 .
Perché? Perché operando sulle impedenze interne del circuito, il generatore interno di tensione V0 ha impedenza nulla e quindi opera un corto circuito ai suoi morsetti, facendo vedere dall'esterno le due resistenze, R1 ed R2 , in parallelo tra loro ed all'uscita.
Ricordiamo allora una semplice ma efficace regola.

Nel calcolo dell'impedenza interna di un circuito composto da elementi ideali, possiamo:

  • eliminare dal circuito i generatori di tensione ideali, sostituendoli con delle linee di circuito chiuse;
  • eliminare dal circuito i generatori di corrente ideali, sostituendoli con delle linee di circuito aperte.

1.3    METODO OPERATIVO

Seppure siamo stati in grado di determinare una formula ed un procedimento abbastanza comodo per calcolare l'impedenza di uscita teorica di un circuito con elementi ideali, non abbiamo ancora esaminato un procedimento operativo che ci permetta di calcolare l'impedenza di uscita di un circuito reale.
Abbiamo detto che per ricavare gli elementi interni di un circuito equivalente servono almeno due misure, in quanto gli elementi (ideali) sono due: il valore della tensione del generatore ideale interno, e il valore dell'impedenza interna.
Possiamo allora operare in questo modo:
  • dapprima colleghiamo i morsetti di uscita del circuito senza carico direttamente ad uno strumento (voltmetro, multimetro, oscilloscopio od altro) in grado di misurare la tensione di uscita VOUT , il quale avrà sicuramente un'impedenza interna abbastanza alta da non alterare in modo significativo la misura, di modo tale che, entro margini abbastanza ampi, potremmo considerare la tensione di uscita
    cioè quasi uguale alla tensione di uscita a vuoto;
  • dopodiché (vedi Fig. 3) poniamo sull'uscita del circuito una resistenza di carico RL , di valore "presumibilmente paragonabile" a quella interna del circuito, e rimisuriamo la tensione di uscita VOUT .
Con la prima misura abbiamo eliminato una delle due incognite del problema, V0 .
Con la seconda misura cerchiamo di ricavare indirettamente il valore di ZOUT , partendo dall'equazione (1.2):
===>
per arrivare alla:
(1.4)
I termini della (1.4) dovrebbero essere a questo punto noti; rivediamoli, per eliminare ogni dubbio:
  • RL è la resistenza di carico che abbiamo usato nella seconda misura;
  • V0 è la tensione di uscita che abbiamo rilevato nella prima misura (a vuoto);
  • VOUT è la tensione di uscita che abbiamo rilevato nella seconda misura (con carico).
Un semplice esempio ci permette di interpretare correttamente il senso della (1.4).
Supponiamo che con un oscilloscopio misuriamo una tensione di uscita di un circuito VOUT (che abbiamo detto è assimilabile alla tensione di uscita a vuoto V0) pari a 7V, ad esempio a 1kHz; dopodiché inseriamo in uscita al circuito un resistenza di 2.2kOhm e ripetiamo la misura con l'oscilloscopio.
Supponendo che la nuova misura ci fornisca una tensione di uscita VOUT pari a 4V di uscita, inseriamo i dati nella (1.4):
ZOUT  = 2200 (7 - 4) / 4 = 1650Ohm
Abbiamo così ricavato il valore dell'impedenza di uscita del nostro circuito a 1kHz.
Basta ripetere l'operazione di misura a varie frequenze per disegnare un grafico per punti della impedenza di uscita in funzione della frequenza.

Inoltre, cosa si intende quando si dice che la resistenza di carico RL dovrebbe essere "presumibilmente paragonabile" a quella interna del circuito?
La teoria afferma che quando RL = ZOUT la tensione di uscita VOUT è pari alla metà di V0 , e quindi più facilmente misurabile.
Un preamplificatore avrà, ragionevolmente, un impedenza di uscita di qualche centinaio di Ohm per adattarsi ad un'impedenza di ingresso del finale di potenza dell'ordine di qualche decina di kOhm; i finali di potenza, invece, avranno un'impedenza di uscita che va da qualche Ohm nel caso di amplificatori con trasformatori di uscita, per arrivare a qualche decimo di Ohm nel caso di amplificatori con stadio finale a transistor.
Questa considerazione ci permette allora di fissare, con una certa ragionevolezza, il valore di RL più consono alla misura che dobbiamo effettuare:

  • 1 kOhm - per la misura di ZOUT di un preamplificatore;
  • 10 Ohm - per la misura di ZOUT di un finale di potenza a valvole con trasformatore di uscita;
  • 2 Ohm - per la misura di ZOUT di un finale di potenza a transistor.
Questi dovrebbero essere valori abbastanza bassi da evidenziare apprezzabili differenze tra V0 e VOUT , ma abbastanza alti da non sovraccaricare i circuiti in uscita.
Il valore della potenza caratteristica di RL dovrà necessariamente tenere in conto della potenza da dissipare nella misura di VOUT , in modo da non riscaldarsi troppo, alterando così in maniera significativa il proprio valore, o addirittura rischiando di bruciarsi.

1.4    RESISTENZA ED IMPEDENZA

Per concludere, vediamo di capire quando possiamo parlare di semplice resistenza e quando invece dobbiamo parlare di impedenza.
La resistenza "pura" è un concetto ideale che deriva direttamente dalla Legge di Ohm, che stabilisce un rapporto proporzionale tra la tensione applicata ai capi di una resistenza (ideale) e la corrente che scorre attraverso di essa:
V = R I
Il fattore di proporzionalità è rappresentato proprio dal valore della resistenza R , supposto appunto costante e indipendente rispetto ad altre variabili, quali ad esempio il tempo o la frequenza.
Possiamo dire allora che si parla di resistenza (costante) quando parliamo di:
  • circuiti ideali;
  • circuiti funzionanti in continua;
  • circuiti funzionanti in alternata, considerando però un intervallo di frequenze all'interno del quale le componenti reattive (induttive e capacitive) siano di ampiezza trascurabile rispetto al valore resistivo.
D'altra parte il concetto di impedenza è un'estensione del concetto di resistenza, per il fatto che l'impedenza è esprimibile come un vettore nel campo complesso:
Z = R ± j X
il che ci permette di estendere la validità della Legge di Ohm che possiamo riscrivere nella forma:
V = Z I = ( R ± j X ) I
dove R è la componente reale (e quindi ideale) dell'impedenza, mentre j X è la componente immaginaria che, nel campo complesso, può essere orientata verso l'alto o verso il basso a seconda che prevalga la componente induttiva oppure quella capacitiva; X rappresenta allora la reattanza, che puņ essere induttiva o capacitiva, legata alla frequenza attraverso le:
(1.5a)
(1.5b)
Possiamo quindi riassumere dicendo che, in base alle precedenti relazioni, un'impedenza di tipo induttivo avrà la forma:
(1.6a)
mentre un'impedenza di tipo capacitivo avrà la forma:
(1.6b)
Le impedenze rappresentate dalle (1.6a) e (1.6b) potranno essere considerate alla stregua di "semplici" resistenze fino a quando la componente resistiva sarà sensibilmente più grande della corrispondente reattanza, cioè fino a quando:
R » wL oppure R » 1 / wC
Per un circuito di tipo audio questo equivale a dire che le impedenze possono essere considerate "semplici" resistenze solo all'interno di un intervallo di frequenze nel quale i valori delle componenti capacitive e/o induttive delle impedenze in gioco siano trascurabili rispetto a quelle puramente resistive.

Fabio Federici

 

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